เรื่อง สมการวงกลม

โจทย์น่าจะแบบนี้มากกว่านะ
หาสมการวงกลมที่ผ่านจุด (2,3) และ (-1,1) และมีจุดศูนย์กลางอยู่บนเส้นตรง x - 3y = 11

วาดรูปช่วยจะได้เห็นภาพ
จะหาสมการวงกลม ต้องใช้ 2 อย่าง คือ จุดศูนย์กลาง และ รัศมี

ให้จุดศูนย์กลางเป็น (h,k)
เนื่องจากวงกลมผ่านจุด (2,3) และ (-1,1) ระยะของสองจุดนี้ไปยังจุดศูนย์กลาง ก็คือ รัศมีนั่นเองและต้องเท่ากันด้วย

สูตร ระยะระหว่างจุด =

(x1 - x2)2 + (y1 - y2)2

คู่แรก (h,k) กับ (2,3) แทนค่าจะได้
ระยะระหว่างจุด =

(h - 2)2 + (k - 3)2

    ----(1)

อีกคู่ (h,k) กับ (-1, 1) แทนค่าจะได้
ระยะระหว่างจุด =

(h +1)2 + (k - 1)2

   ----(2)

รัศมีจะเท่ากัน เลยได้ว่า (1) = (2)

(h - 2)2 + (k - 3)2

=

(h +1)2 + (k - 1)2

แก้สมการนี้ ยกกำลังสองทั้งสองข้าง
(h - 2)² + (k - 3)²= (h +1)² + (k - 1)²
กระจายวงเล็บ ตามสูตรกำลังสองสมบูรณ์
h² - 4h + 4 + k² - 6k + 9 = h² + 2h + 1 + k² - 2k + 1
พวกกำลังสองลบกันหมดไป ที่เหลือก็ บวกลบกันไปนะเหลือแค่นี้
- 4h + 4 - 6k + 9 = 2h + 1 - 2k + 1
0 = 6h + 4k + 2 - 13
0 = 6h + 4k - 11    ---- (3)

จากที่รู้ว่า จุดศูนย์กลางอยู่บน x - 3y = 11 เวลารู้ว่าจุดอยู่บนเส้น เอาจุดนั้นแทนในสมการเส้นตรง จะเป็นจริง งั้นแทน (h,k) เลย
h - 3k = 11
h = 11 + 3k    -----(4)

ดูสมการ (3), (4) เราติด 2 ตัวแปร มี 2 สมการ แก้ระบบสมการได้นะ
เอา (4) ไปแทนใน (3)
0 = 6(11 + 3k) + 4k - 11
แก้สมการ
0 = 66 + 18k + 4k - 11
0 = 55 + 22k
-55 = 22k

-55

22

= k
ตัดทอนได้ k =

-5

2

แทนใน (4) ได้
h = 11 + 3k = 11 + 3(

-5

2

) =

22 - 15

2

=

7

2

ได้จุดศูนย์กลางแล้วค่ะ คือ (

7

2

, -

5

2

)

หารัศมีได้จาก เอาไปแทนใน (1) หรือ (2) ก็ได้

พอได้ทั้งจุดศูนย์กลางและรัศมีแล้ว เอาไปแทนใน สูตรสมการทั่วไปของวงกลม
สูตรนี้ (x - h)² + (y - k)² = r²

จัดรูป ก็จะได้คำตอบค่ะ
ยากหน่อยเพราะเลขไม่ลงตัว
ลองทำดูนะคะ

ตัวอย่างแนวนี้มีคลิปสอนที่นี่ เป็นคอร์สแบบกลุ่มบท
https://www.dektalent.com/course/math-conicsection/